存在不存在一个非零自然数n,使得n2-n+1是25的倍数

Answer 1

不存在一个非零自然数n,使得n2-n+1是25的倍数.
（一）
N^2 - N + 1
= (N -1)N + 1
这个式子就是两个连续自然数的乘积 + 1.
我们关注自然数的个位数即可.
两个连续自然数 N-1,N 的个位数的情况只可能是如下10种：
0 1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6 7,7 8,8 9,9 0
他们对应的(N -1)*N的乘积的尾数对应为：
0,2,6,2,0,0,2,6,2,0
他们对应的(N -1)*N + 1的尾数对应为：
1,3,7,3,1,1,3,7,3,1
尾数只可能出现1、3、7,不可能出现5,更不可能出现25.
因此n2-n+1 不可能是25的倍数（甚至不可能是5的倍数）
以上是直观的做法.
（二）
设 N = 5K + M
K属于非负整数,M属于[0,4]的整数.
n2-n+1
= 25K^2 + 10MK + M^2 - 5K - M + 1
= (25K^2 + 10MK - 5K) + (M^2 - M + 1)
前一部分能被5整除,后一部分代入M = 0、1、2、3、4的值分别为：
1、1、3、7、13,都不能被5整除.
因此整个式子不能被5整除.
证得n2-n+1不能被5和5的倍数整除.