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已知a≤1,x≥0,求证(x+1)ln(x+1)≥ax
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已知a≤1,x≥0,求证(x+1)ln(x+1)≥ax
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答案和解析
令f(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,那么f'(x)=ln(x+1)+1-a,∵x≥0,a≤1,∴x+1≥1,ln(x+1)≥0,1-a≥0
∴f'(x)≥0,∴f(x)单调递增,∴f(x)≥f(0)=0,∴(x+1)ln(x+1)≥ax
∴f'(x)≥0,∴f(x)单调递增,∴f(x)≥f(0)=0,∴(x+1)ln(x+1)≥ax
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