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椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0);右焦点为F,直线l方程为x=a2/c,求证椭圆上任意点P到F的距离与到l的距离之比为c/a
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椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0); 右焦点为F,直线l方程为x=a2/c,求证椭圆上任意点P到F的距离与到l的距离之比为c/a
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答案和解析
d1=√[(x-c)^2+y^2],d2=a^2/c-x,a^2=b^2+c^2
x^2/a^2+y^2/b^2=1 ====>y^2=b^2-(b^2/a^2)*x^2
则d1/d2={√[(x-c)^2+y^2]}/(a^2/c-x)
={√[x^2-2cx+c^2+a^2-c^2-(1-c^2/a^2))*x^2]}/(a^2/c-x)
={√[-2c^2x+ca^2+(c^2/a^2)*cx^2]}/(a^2-cx)
=(c/a)*{√[c^2x^2-2ca^2x+a^4]}/(a^2-cx)
=(c/a)*{√[(cx-a^2)^2]}/(a^2-cx)
=(c/a)*{1}=c/a
其实x=a^2/c就是此椭圆的右准线,椭圆第一定律就是这样的,第二定律是:某点到两不同定点的距离之和为定值.
x^2/a^2+y^2/b^2=1 ====>y^2=b^2-(b^2/a^2)*x^2
则d1/d2={√[(x-c)^2+y^2]}/(a^2/c-x)
={√[x^2-2cx+c^2+a^2-c^2-(1-c^2/a^2))*x^2]}/(a^2/c-x)
={√[-2c^2x+ca^2+(c^2/a^2)*cx^2]}/(a^2-cx)
=(c/a)*{√[c^2x^2-2ca^2x+a^4]}/(a^2-cx)
=(c/a)*{√[(cx-a^2)^2]}/(a^2-cx)
=(c/a)*{1}=c/a
其实x=a^2/c就是此椭圆的右准线,椭圆第一定律就是这样的,第二定律是:某点到两不同定点的距离之和为定值.
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