椭圆基础题设椭圆（x^2/9）+（y^2/4）=1上的动点p(x,y)和定点A(a,0)(a>0)的距离的最小值

Question

椭圆基础题
设椭圆（x^2/9）+（y^2/4）=1上的动点p(x,y)和定点A(a,0)(a>0)的距离的最小值

Answer 1

当a≥3时,显然动点p(x,y)和定点A(a,0)(a>0)的距离的最小值＝a-3.
当a＜3时,最小值应在P（x0,y0）取得,AP⊥椭圆过P的切线.
椭圆过P的切线方程：xx0／9+yy0/4＝1.斜率＝-4x0/9y0
AP斜率＝y0/（x0-a）
∴y0/（x0-a）×[-4x0/9y0]＝-1
解得x0＝9a/5.注意x0≤3,a≤5/3.此时y0＝√（4-36a²/25）.
|AP|＝2√（25-5a²）/5,
当5/3≤a＜3时,距离是3-a.（只有P（3,0）,AP⊥切线）
总之,a≥5/3时,p(x,y)和定点A(a,0)(a>0)的距离的最小值＝|a-3|
5/3＞a＞0时,
p(x,y)和定点A(a,0)(a>0)的距离的最小值＝2√（25-5a²）/5.
（5/3＞a＞0时.其实还有P（3,0）,AP⊥切线,但容易计算：
此时3-a＞2√（25-5a²）/5.请 thinkpaid 自己验证一下吧.）