关于三角形的.已知△ABC,tan(A-B)/2=a-b/a+b求证：△ABC为等腰或者直角三角形.

Question

关于三角形的.
已知△ABC,tan(A-B)/2 =a-b/a+b 求证：△ABC为等腰或者直角三角形.

Answer 1

由正弦定理等式转换为：
tan[(A-B)/2]=(sinA-sinB)/(sinA+sinB)
由三角函数的和差化积的公式得：
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]·sin[(A-B)/2]=2sin(C/2)·sin[(A-B)/2]
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]·cos[(A-B)/2]=2cos(C/2)·cos[(A-B)/2]
因此等式变换为：
tan[(A-B)/2]=tan(C/2)·tan[(A-B)/2]
所以
[tan(C/2)-1]·tan[(A-B)/2]=0
所以tan(C/2)=1或tan[(A-B)/2]=0
即C=90°或A=B
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形
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