若函数f(x)=x2+（a-1）x+a为偶函数a的值为多少.设函数g（x）＝f（x）÷x当x≥1时不等式g（x）+f（m）+2m≥5恒成立,求m的取值范围

Question

若函数f(x)=x2+（a-1）x+a为偶函数
a的值为多少.
设函数g（x）＝f（x）÷x 当x≥1时 不等式g（x）+f（m）+2m≥5恒成立,求m的取值范围

Answer 1

x取任意实数,f(x)恒有意义,定义域为R,关于原点对称.
函数是偶函数,f(-x)=f(x)
(-x)²+(a-1)(-x)+a=x²+(a-1)x+a
2(a-1)x=0
要对任意实数x,等式恒成立,只有系数=0
2(a-1)=0
a=1
a的值为1
f(x)=x²+(1-1)x+1=x²+1
g(x)=f(x)/x=(x²+1)/x
g(x)+f(m)+2m
=(x²+1)/x +m²+1+2m≥5
(m+1)²≥5-(x²+1)/x
(x²+1)/x=x +1/x
x≥1>0,由均值不等式得x+ 1/x≥2,当且仅当x=1时取等号.
5-(x²+1)/x≤3 当且仅当x=1时取等号
要对任意x≥1,不等式恒成立,只需(m+1)²≥3
m≥√3-1或m≤-1-√3