求微分方程解微分方程y''+y=cosxcos2x同济教材没有复数法，第八节非其次线性微分方程后面就是欧拉公式不要求掌握的复数法是什么

Question

求微分方程 解微分方程 y'' +y=cosxcos2x
同济教材没有复数法，第八节 非其次线性微分方程 后面就是欧拉公式不要求掌握的
复数法是什么

Answer 1

这是二阶常系数线性非齐次常微分方程.
先写出对应的齐次方程y'' +y=0的通解(利用特征方程法)：
y=c1*Cos(x)+c2*Sin(x),其中c1,c2为任意常数.
再求出非齐次方程的一个特
y'' +y=cosxcos2x =Cos(3x)+Cos(x) (积化和差)
利用复数法可以很快写出一个特
yp=(-1/8)*Cos(3x)-(1/2)*x*Sin(x)
由线性叠加原理可知：
原方程的通解为：y+yp=c1*Cos(x)+c2*Sin(x)-(1/8)*Cos(3x)-(1/2)*x*Sin(x).
这里只是给出主要步骤,至于原理还要自己去看微分方程的教材.