设位于第一象限的曲线y=f（x）过点（22，12），其上任一点P（x，y）处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．（1）求曲线y=f（x）的方程；（2）已知曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为l，试

Question

设位于第一象限的曲线y=f（x）过点（(√(2))/(2)，(1)/(2)），其上任一点P（x，y）处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．
（1）求曲线 y=f（x）的方程；
（2）已知曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f（x）的弧长s．

Answer 1

（1）设曲线y=f（x）在点P（x，y）处的法线方程为Y−y＝−(1)/(y′)(X−x)，
其中（X，Y）为法线上任意一点的坐标．令X=0，则
Y＝y+(x)/(y′)，
故Q点的坐标为(0，y+(x)/(y′)) 
由“线段PQ被x轴平分“知
(1)/(2)(y+y+(x)/(y′))＝0，
即2ydy+xdx=0 
积分得x²+2y²=C（C为常数）
由“曲线y=f（x）过点（(√(2))/(2)，(1)/(2)）“，知C=1，
故曲线y=f（x）的方程为
x²+2y²=1
（2）曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为
l＝

∫

π 0

√(1+cos2x)dx=2

∫

(π)/(2) 0

√(1+cos2x)dx
而曲线y=f（x）的参数方程为
√(x＝costy＝(1)/(作业帮用户2017-09-26问题解析（1）先求出法线方程与交点坐标Q，再由题设线段PQ被x轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y=f（x）的方程．（2）将曲线 y=f（x） 化为参数方程，再利用弧长公式进行计算即可，其中弧长微分ds＝√(x′2(t)+y′2(t))dt，以及确定参数t的范围．名师点评本题考点：弧长的计算；求函数在某点的切线方程与法线方程．考点点评：题目是在第一象限考虑曲线y=f（x）的弧长，因此积分限应从0到(π)/(2)，而不是从0到2π；另外，积分的转换也是此题考查的知识点．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议))