已知曲线y=13x3+43．（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；（3）求斜率为1的曲线的切线方程．

Question

已知曲线y=(1)/(3)x³+(4)/(3)．
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
（3）求斜率为1的曲线的切线方程．

Answer 1

（1）∵P（2，4）在曲线y=(1)/(3)x³+(4)/(3)上，且y′=x²，
∴在点P（2，4）处的切线的斜率为k₁=4．
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0；
（2）设曲线y=(1)/(3)x³+(4)/(3)与过点P（2，4）的切线相切于点A（x₀，(1)/(3)x₀³+(4)/(3)），
则切线的斜率k=x₀²，
∴切线方程为y-（(1)/(3)x₀³+(4)/(3)）=x₀²（x-x₀），
∵点P（2，4）在切线上，
∴x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0．
（3）设切点为（x₀，y₀）
则切线的斜率为k=x₀²=1，x₀=±1．切点为（1，(5)/(3)），（-1，1）
∴切线方程为y-1=x+1或y-(5)/(3)=x-1，即x-y+2=0或3x-3y+2=0．