求值域y=x-根号1-x平方

Question

求值域y=x-根号1-x平方

Answer 1

三角换元,因为函数的定义域是x∈[-1,1],故
令x=sint,t∈[-π/2,π/2]
则y=sint-cost=√2*sin(t-π/4)�
∵t∈[-π/2,π/2] ∴(t-π/4)∈[-3π/4,π/4]
∴sin(t-π/4)∈[-1,√2/2]
∴√2*sin(t-π/4)∈[-√2,1]
所以所求函数的值域为[-√2,1].
三角换元要注意技巧.比如本题令x=sint,t∈[-π/2,π/2],一方面满足了定义域的要求；另一方面,√(1-x^2）=|cost|,而cost在[-π/2,π/2]是大于等于0的,因而可以直接去掉绝对值符号,避免去掉绝对值符号带来的讨论.
类似的,本题也可令x=cost,t∈[0,π].