设z是复数,则[z-1]+[z-i]+[z+1]的最小值[]是绝对值符号

Question

设z是复数,则[z-1]+[z-i]+[z+1]的最小值 []是绝对值符号

Answer 1

|z-1|+|z-i|+|z+1|
即点Z到 A（1,0）B(-1,0),C(0,1)
的距离之和：|ZA|+|ZB|+|ZC|
该点为以AC为1边向外做等边三角形的
外接圆与y轴的交点,
设该圆为：x^2+y^2-2mx+2my+n=0
过(0,1)则： 1+2m+n=0
半径为：√3/3*√2=√6/3 ==>2 m^2-n=2/3
2m^2+1/3+2m=0 ==>6m^2+6m+1=0
m=(-6-2√3)/12=-(3+√2)/6
∴ x^2+y^2+(3+√2)/3 x-(3+√2)/3y+√2)/3=0
x=0, y^2-(3+√2)/3y+√2)/3=0
y1=1(舍）y2=√2/3
∴最小值点为（0,√2/3）
∴|ZA|+|ZB|+|ZC|≥2√(1+2/9)+√2/3=(2√11+√2)/3
最小值：(2√11+√2)/3