正数列{an}中的前n项和Sn满足2Sn=an^2+an-2.设cn=4^n+(-1)m2^an,m为非零整数,确定m值,有cn+1>cn恒成立

Question

正数列{an}中的前n项和Sn满足2Sn=an^2+an-2.设cn=4^n+(-1)m2^an,m为非零整数,确定m值,有cn+1>cn恒成立

Answer 1

∵2Sn=an^2+an-2
∴2S(n+1)=a²(n+1)+a(n+1)-2
两式相减
2a(n+1)=2S(n+1)-2Sn=a²(n+1)+a(n+1)-a²n-an
∴a²(n+1)-a²n=a(n+1)+an
∴[a(n+1)+an][a(n+1)-an]=a(n+1)+an
∵an>0
∴a(n+1)-an=1
∴{an}为等差数列,公差为1
又n=1时,2a1=a²1+a1-2
∴a²1-a1-2=0
∴a1=2 (舍负）
∴an=n+1
cn=4^n-m*2^(n+1)
=（2^n)²-2m*2^n
=(2^n-m)²-m²
对称轴为m
∵ 2^n=2,4,8,.
若c(n+1)>cn恒成立
则m