已知数列{an}，an∈N*，前n项和Sn=18（an+2）2．（1）求证：{an}是等差数列；（2）若bn=12an-30，求数列{bn}的前n项和的最小值．

Question

已知数列{a_n}，a_n∈N^*，前n项和S_n=(1)/(8)（a_n+2）²．
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）若b_n=(1)/(2)a_n-30，求数列{b_n}的前n项和的最小值．

Answer 1

（1）证明：∵a_n+1
=S_n+1-S_n
=(1)/(8)（a_n+1+2）²-(1)/(8)（a_n+2）²，
∴8a_n+1=（a_n+1+2）²-（a_n+2）²，
∴（a_n+1-2）²-（a_n+2）²=0，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0．
∵a_n∈N^*，∴a_n+1+a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-4=0．
即a_n+1-a_n=4，∴数列{a_n}是等差数列．
（2）由（1）知a₁=S₁=(1)/(8)（a₁+2）²，解得a₁=2．∴a_n=4n-2，
b_n=(1)/(2)a_n-30=2n-31，（以下用两种方法求解）
法一：
由b_n=2n-31可得：首项b₁=-29，公差d=2
∴数列{b_n}的前n项和s_n=n²-30n=（n-15）²-225
∴当n=15时，s_n=225为最小；
法二：
由

2n−31≤0

2(n+1)−31≥

0得
(29)/(2)≤n≤(31)/(2)．∵n∈N^*，∴n=15，
∴{a_n}前15项为负值，以后各项均为正值．
∴S_15最小．又b₁=-29，
∴S₁₅=(15(−29+2×15−31))/(2)=-225