如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P．（1）能否使你的三角板两直

Question

如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P．
（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；
（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直 角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．

Answer 1

（1）设AP=xcm，则PD=（10-x）cm，
因为∠A=∠D=90°，∠BPC=90°，
所以∠DPC=∠ABP，
所以△ABP ∽ △DPC，
则 (AB)/(PD) = (AP)/(DC) ，即AB•DC=PD•AP，
所以4×4=x（10-x），即x ² -10x+16=0，
解得x ₁ =2，x ₂ =8，
所以可以使三角板两直角边分别通过点B与点C，AP=2cm或8cm；

（2）能．
设AP=xcm，CQ=ycm．
∵ABCD是矩形，∠HPF=90°，
∴△BAP ∽ △ECQ，△BAP ∽ △PDQ，
∴ (AP)/(CQ) = (AB)/(CE) ， (AP)/(DQ) = (AB)/(PD) ，
∴AP•CE=AB•CQ，AP•PD=AB•DQ，
∴2x=4y，即y= (x)/(2) ，
∴x（10-x）=4（4+y），
∵y= (x)/(2) ，
即x ² -8x+16=0，
解得x ₁ =x ₂ =4，
∴AP=4cm，
即在AP=4cm时，CE=2cm．