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某项实验研究需要一种高标准的产品，对这种产品要检测A、B两项技术指标，各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为512，至少一项技术指标达标的概率为1112

题目详情
某项实验研究需要一种高标准的产品，对这种产品要检测A、B两项技术指标，各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为
5
12
，至少一项技术指标达标的概率为
11
12
，按要求只有两项技术指标都达标的产品才能用于该实验（称为合格品），
（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为p1、p2，求一件产品经过检测为合格品的概率是多少？
（Ⅱ）若进行该项实验需要这种产品100个，为保证实验的顺利进行，则至少要购进多少件这样的产品？
5
12
，至少一项技术指标达标的概率为
11
12
，按要求只有两项技术指标都达标的产品才能用于该实验（称为合格品），
（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为p1、p2，求一件产品经过检测为合格品的概率是多少？
（Ⅱ）若进行该项实验需要这种产品100个，为保证实验的顺利进行，则至少要购进多少件这样的产品？
5
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551212
11
12
，按要求只有两项技术指标都达标的产品才能用于该实验（称为合格品），
（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为p1、p2，求一件产品经过检测为合格品的概率是多少？
（Ⅱ）若进行该项实验需要这种产品100个，为保证实验的顺利进行，则至少要购进多少件这样的产品？
11
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11111212
12
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）∵有且仅有一项技术指标达标的概率为
5
12

∴有p1(1−p2)+(1−p1)p2＝
5
12
…①
又至少一项技术指标达标的概率为
11
12

∴有1−(1−p2)(1−p1)＝
11
12
…②
联立①、②得
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−p1p2＝
11
12

解得：p1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件．
5
12
555121212
∴有p1(1−p2)+(1−p1)p2＝
5
12
…①
又至少一项技术指标达标的概率为
11
12

∴有1−(1−p2)(1−p1)＝
11
12
…②
联立①、②得
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−p1p2＝
11
12

解得：p1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． p1(1−p2)+(1−p1)p2＝
5
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…①
又至少一项技术指标达标的概率为
11
12

∴有1−(1−p2)(1−p1)＝
11
12
…②
联立①、②得
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−p1p2＝
11
12

解得：p1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． 1(1−p2)+(1−p1)p2＝
5
12
…①
又至少一项技术指标达标的概率为
11
12

∴有1−(1−p2)(1−p1)＝
11
12
…②
联立①、②得
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−p1p2＝
11
12

解得：p1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． 2)+(1−p1)p2＝
5
12
…①
又至少一项技术指标达标的概率为
11
12

∴有1−(1−p2)(1−p1)＝
11
12
…②
联立①、②得
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−p1p2＝
11
12

解得：p1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． 1)p2＝
5
12
…①
又至少一项技术指标达标的概率为
11
12

∴有1−(1−p2)(1−p1)＝
11
12
…②
联立①、②得
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−p1p2＝
11
12

解得：p1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． 2＝
5
12
555121212…①
又至少一项技术指标达标的概率为
11
12

∴有1−(1−p2)(1−p1)＝
11
12
…②
联立①、②得
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−p1p2＝
11
12

解得：p1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件．
11
12
111111121212
∴有1−(1−p2)(1−p1)＝
11
12
…②
联立①、②得
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−p1p2＝
11
12

解得：p1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． 1−(1−p2)(1−p1)＝
11
12
…②
联立①、②得
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−p1p2＝
11
12

解得：p1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． 2)(1−p1)＝
11
12
…②
联立①、②得
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−p1p2＝
11
12

解得：p1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． 1)＝
11
12
111111121212…②
联立①、②得
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−p1p2＝
11
12

解得：p1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件．
p1+p2−2p1p2＝
5
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p1+p2−p1p2＝
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p1+p2−2p1p2＝
5
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p1+p2−p1p2＝
11
12
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−p1p2＝
11
12
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−p1p2＝
11
12
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−2p1p2＝
5
12
p1+p2−2p1p2＝
5
12
1+p2−2p1p2＝
5
12
2−2p1p2＝
5
12
1p2＝
5
12
2＝
5
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555121212p1+p2−p1p2＝
11
12
p1+p2−p1p2＝
11
12
p1+p2−p1p2＝
11
12
1+p2−p1p2＝
11
12
2−p1p2＝
11
12
1p2＝
11
12
2＝
11
12
111111121212
解得：p1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． p1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． 1p2＝
1
2

∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． 2＝
1
2
111222
∴一件产品经过检测为合格品的概率为p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． p1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． 1p2＝
1
2

（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． 2＝
1
2
111222
（Ⅱ）设需要购进的产品数为n，且n个产品中合格品的个数为ξ，
依题意知ξ～B(n，
1
2
)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． ξ～B(n，
1
2
111222)，
∴Eξ＝
1
2
n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件． Eξ＝
1
2
111222n，
为保证实验的顺利进行，则Eξ≥100，
即
1
2
n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件．
1
2
111222n≥100，解得：n≥200，
故至少需要购进这种产品200件．
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