什么是分形数学

Question

什么是分形数学

Answer 1

分形一般是指“一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都（至少会大略）是整体缩小尺寸的形状”[1],此一性质称为自相似.分形一词是由本华·曼德博于1975年提出的,有“零碎”、“破裂”之意.
分形一般有以下特质：[2]
在任意小的尺度上都能有精细的结构；
太不规则,以至难以传统欧氏几何的语言来描述；
（至少是大略或任意地）自相似
豪斯多夫维数会大于拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；
有着简单的递归定义.
因为分形在所有的大小尺度下都显得相似,所以通常被认为是无限复杂的（以不严谨的用词来说）.自然界里一定程度类似分形的事物有云、山脉、闪电、海岸线和雪片等等.但是,并不是所有自相似的东西都是分形,如实线虽然在形式上是自相似的,但却不符合分形的其他特质.
17世纪时,数学家兼哲学家莱布尼茨思考过递回的自相似,分形的数学从那时开始渐渐地成形（虽然他误认只有直线会自相似）.
直到1872年,卡尔·魏尔施特拉斯给出一个处处连续但处处不可微的函数,在今日被认为是分形的图形才出现.1904年,科赫·范·卡区不满意魏尔施特拉斯那抽象且解析的定义,给出一个相似函数但更几何的定义,今日称之为科赫雪花.1915年瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基造出了谢尔宾斯基三角形；隔年,又造出了谢尔宾斯基地毯.原本,这些几何分形都被认为是分形,而不如现今所认为的二维形状.1938年,保罗·皮埃尔·莱维在他的论文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中将自相似曲线的概念更进一步地推进,他在文中描述了一个新的分形曲线－莱维C形曲线.
格奥尔格·康托尔也给出一个具有不寻常性质的实数子集－康托尔集,今日也被认为是分形.
复平面的迭代函数在19世纪末20世纪初被儒勒·昂利·庞加莱、菲利克斯·克莱因、皮埃尔·法图和加斯东·茹利亚等人所研究,但直到现在有电脑绘图的帮忙,许多他们所发现的函数才显现出其美丽来.
1960年代,本华·曼德博开始研究自相似,且写下一篇论文《英国的海岸线有多长?统计自相似和分数维度》.最后,1975年,曼德博提出了“分形”一词,来标记一个物件,其豪斯多夫维数会大于拓扑维数.曼德博以显著的电脑架构图像来描绘此一数学定义,这些图像有着普遍的映象；许多都基于递归,以至“分形”的一般意思.
造法
四个制造分形的一般技术如下：
逃逸时间分形：由空间（如复平面）中每一点的递推关系式所定义,例如曼德博集合、茹利亚集合、火烧船分形、新分形和李奥普诺夫分形等.由一次或两次逃逸时间公式的迭代生成的二维矢量场也会产生分形,若点在此一矢量场中重复地被通过.
迭代函数系统：这些分形都有着固定的几何替代规则.康托尔集、谢尔宾斯基三角形、谢尔宾斯基地毯、空间填充曲线、科赫雪花、龙形曲线、丁字方形、孟杰海绵等都是此类分形的一些例子.
随机分形：由随机而无确定过程产生,如布朗运动的轨迹、莱维飞行、分形风景和布朗树等.后者会产生一种称之为树状分形的分形,如扩散限制聚集或反应限制聚集丛.
奇异吸引子：以一个映射的迭代或一套会显出混沌的初值微分方程所产生.
[编辑]分类
分形也可以依据其自相似来分类,有如下三种：
精确自相似：这是最强的一种自相似,分形在任一尺度下都显得一样.由迭代函数系统定义出的分形通常会展现出精确自相似来.
半自相似：这是一种较松的自相似,分形在不同尺度下会显得大略（但非精确）相同.半自相似分形包含有整个分形扭曲及退化形式的缩小尺寸.由递推关系式定义出的分形通常会是半自相似,但不会是精确自相似.
统计自相似：这是最弱的一种自相似,这种分形在不同尺度下都能保有固定的数值或统计测度.大多数对“分形”合理的定义自然会导致某一类型的统计自相似（分形维数本身即是个在不同尺度下都保持固定的数值测度）.随机分形是统计自相似,但非精确及半自相似的分形的一个例子.