求定积分∫2x^2e^(-2x)dx(0到正无穷)

Question

求定积分∫ 2x^2e^(-2x) dx (0到正无穷)

Answer 1

分部积分就是∫f(x)dg(x)=f(x)g(x)-∫g(x)df(x)
所以原式=-∫x²e^(-2x)d(-2x)
=-∫x²de^(-2x)
=-[x²*e^(-2x)-∫e^(-2x)dx²]
=-x²*e^(-2x)+∫2xe^(-2x)dx
=-x²*e^(-2x)-∫xe^(-2x)d(-2x)
=-x²*e^(-2x)-∫xde^(-2x)
=-x²*e^(-2x)-[xe^(-2x)-∫e^(-2x)dx]
=-x²*e^(-2x)-xe^(-2x)+∫e^(-2x)dx]
=-x²*e^(-2x)-xe^(-2x)-1/2*∫e^(-2x)d(-2x)
=-x²*e^(-2x)-xe^(-2x)-1/2*e^(-2x)
=(-x²-x-1/2)*e^(-2x)
=(-x²-x-1/2)/e^(2x)
x趋于无穷,则这是∞/∞,用洛必达法则
分子求导=-2x-1
分母求导=2e^(2x)
还是∞/∞,用洛必达法则
分子求导=-2
分母求导=4e^(2x)
分母趋于无穷
所以x趋于无穷时,(-x²-x-1/2)/e^(2x)极限是0
x=0,(-x²-x-1/2)/e^(2x)=-1/2
所以原式=0-(-1/2)=1/2