试求x^285-x^83+x^71+x^9-x^3+3被x-1除所得的余数,一定要有过程,

Question

试求x^285-x^83+x^71+x^9-x^3+3被x-1除所得的余数,一定要有过程,

Answer 1

x^285－x^83＋x^71＋x^9－x^3＋3除以x－1
解法1：
x^285－x^83＋x^71＋x^9－x^3＋3＝(x^285－1)–(x^83－1)＋(x^71－1)＋(x^9－1)–(x^3－1)＋4
因为x^285－1、x^83－1、x^71－1、x^9－1、x^3－1可被x－1整除
所以,原式被x－1除所得的余数是4．
解法2
由余数定理,余数等于x^285－x^83＋x^71＋x^9－x^3＋3在x＝1时值,即
余数＝1285－183＋171＋19－13＋3＝4
评注：本题两种解法中,解法1是通过恒等变形,将原式中能被x－1整除的部分分解出,剩下的就是余数．解法2是通过余数定理来求余数,这是这类问题的通法,要熟练掌握．