在数列{an}中,a1=1/2,a（n+1）-a（n）=1/4n^2-1,写出数列的前4项并求通项公式.

Question

在数列{a n}中,a1=1/2,a （n+1）-a （n）=1/4n^2-1,写出数列的前4项并求通项公式.

Answer 1

a1=1/2
a2=a1+1/(4-1)=5/6
a3=a2+1/(16-1)=9/10
a4=a3+1/(36-1)=13/14
因此猜测an=(4n-3)/(4n-2)
下面用数学归纳法来证明：
（1）当n=1时,已经验证猜测是成立的
（2）假设当n=k时猜测成立,即有：ak=(4k-3)/(4k-2)
则当n=k+1时,
a(k+1)=ak+1/(4k^2-1)
=(4k-3)/(4k-2)+1/(4k^2-1)
=(4k-3)/2(2k-1)+1/(2k-1)(2k+1)
=[(4k-3)(2k+1)+2]/2(2k-1)(2k+1)
=(8k^2-2k-1)/2(2k-1)(2k+1)
=(8k^2-4k+2k-1)/2(2k-1)(2k+1)
=(4k+1)(2k-1)/2(2k-1)(2k+1)
=(4k+1)/(4k+2)
=[4(k+1)-3]/[4(k+1)-2]
可见,此时猜测亦成立.
故an=(4n-3)/(4n-2)