设函数f(x)=x3-3ax+b若f(x)在x=-1处取得极值,且与x轴有且只有一个交点,求实数b的取值范围

Question

设函数f(x)=x3-3ax+b
若f(x)在x=-1处取得极值,且与x轴有且只有一个交点,求实数b的取值范围

Answer 1

解:
f(x)=x^3-3ax+b
f'(x)=3x^2-3a
依题意
f(-1)=3-3a=0
所以a=1
f(x)=x^3-3x+b
令f(x)=0
x有唯一解
f'(x)=3x^2-3
x=±1
所以f(x)的极大值为2+b
极小值为b-2
所以只要f(1)f(-1)<0
b^2-4<0
b属于[-2,2]时f(x)与x轴有且只有一个交点