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如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,DF⊥CE于M,交AC于点N,交AB于点F,连接EN、BM.有如下结论:①△ADF≌△DCE;②MN=FN;③CN=2AN;④S△ADN:S四边形CNFB=2:5;⑤∠ADF=∠BMF.其中正确结论的个数
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如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,DF⊥CE于M,交AC于点N,交AB于点F,连接EN、BM.有如下结论:①△ADF≌△DCE;②MN=FN;③CN=2AN;④S△ADN:S四边形CNFB=2:5;⑤∠ADF=∠BMF.其中正确结论的个数为( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
▼优质解答
答案和解析
①在△ADF和△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE,
故本选项正确;
②∵△ADF≌△DCE,
∴DE=AF,
∵AE=DE,
∴AE=AF,
在△ANF和△ANE中
,
∴△ANF≌△ANE,
∴NF=NE,
∵NM⊥CE,
∴NE>MN,
∴NF>MN,
∴MN=FN错误,
故本选项错误;
③∵AF∥CD,
∴∠CDN=∠NFA,∠DCN=∠NAF,
∴△DCN∽△FAN,
又∵△ADF≌△DCE,且四边形ABCD为正方形,
∴AF=
AB=
DC,
∴
=
=2,
∴CN=2AN,
故本选项正确;
④连接CF,
设S△ANF=1,
则S△ACF=3,S△ADN=2,
∴S△ACB=6,
∴S四边形CNFB=5,
∴S△ADN:S四边形CNFB=2:5,
故本选项正确;
⑤延长DF与CB交于G,则∠ADF=∠G,
根据②的结论F为AB中点,即AF=BF,
在△DAF与△GBF中,
,
∴△DAF≌△GBF(AAS),
∴BG=AD,又AD=BC,
∴BC=BG,
又∵∠ADF=∠DCE,∠ADF+∠CDM=90°,
∴∠DCE+∠CDM=90°,
∴∠DMC=∠CMG=90°,
∴△CMG是直角三角形,
∴MB=BG=BC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
∴∠G=∠BMF,
因此∠ADF=∠BMF,故选项正确.
所以正确的有①③④⑤共4个.
故选C.
|
∴△ADF≌△DCE,
故本选项正确;
②∵△ADF≌△DCE,
∴DE=AF,
∵AE=DE,
∴AE=AF,
在△ANF和△ANE中
|
∴△ANF≌△ANE,
∴NF=NE,
∵NM⊥CE,
∴NE>MN,
∴NF>MN,
∴MN=FN错误,
故本选项错误;
③∵AF∥CD,
∴∠CDN=∠NFA,∠DCN=∠NAF,
∴△DCN∽△FAN,
又∵△ADF≌△DCE,且四边形ABCD为正方形,
∴AF=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
CN |
AN |
CD |
AF |
∴CN=2AN,
故本选项正确;
④连接CF,
设S△ANF=1,
则S△ACF=3,S△ADN=2,
∴S△ACB=6,
∴S四边形CNFB=5,
∴S△ADN:S四边形CNFB=2:5,
故本选项正确;
⑤延长DF与CB交于G,则∠ADF=∠G,
根据②的结论F为AB中点,即AF=BF,
在△DAF与△GBF中,
|
∴△DAF≌△GBF(AAS),
∴BG=AD,又AD=BC,
∴BC=BG,
又∵∠ADF=∠DCE,∠ADF+∠CDM=90°,
∴∠DCE+∠CDM=90°,
∴∠DMC=∠CMG=90°,
∴△CMG是直角三角形,
∴MB=BG=BC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
∴∠G=∠BMF,
因此∠ADF=∠BMF,故选项正确.
所以正确的有①③④⑤共4个.
故选C.
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