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设a,b为整数,且方程ax2+bx+1=0的两个不同的正数根都小于1,求a的最小值.
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设a,b为整数,且方程ax2+bx+1=0的两个不同的正数根都小于1,求a的最小值.
▼优质解答
答案和解析
设方程的两根为x1,x2,
由x1•x2=
>0,∴a>0.
由题意有:△=b2-4ac=b2-4a>0 ①
用函数的观点看一元二次方程有:0<-
<1 ②
a+b+1>0 ③
由②③得:-(a+1)<b<0
由①得:b<-2
.
∴-(a+1)<b<-2
.④
当a=1,2,3,4时,满足④式的整数b不存在.
当a=5时,b=-5,这时方程是5x2-5x+1=0,两根为x=
±
在0和1之间.
故a的最小值为5.
由x1•x2=
1 |
a |
由题意有:△=b2-4ac=b2-4a>0 ①
用函数的观点看一元二次方程有:0<-
b |
2a |
a+b+1>0 ③
由②③得:-(a+1)<b<0
由①得:b<-2
a |
∴-(a+1)<b<-2
a |
当a=1,2,3,4时,满足④式的整数b不存在.
当a=5时,b=-5,这时方程是5x2-5x+1=0,两根为x=
1 |
2 |
| ||
10 |
故a的最小值为5.
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