曲线积分可以将曲线的表达式直接代入积分式,这一点和重积分不同.哪里不同呀?而且是怎么个代法呢?

Question

曲线积分可以将曲线的表达式直接代入积分式,这一点和重积分不同.哪里不同呀?而且是怎么个代法呢?

Answer 1

比如 ∫c (x²+y²)ds,其中c：x²+y²=1,这是个第一类曲线积分,
则 ∫c (x²+y²)ds=∫c 1 ds,被积函数为1,积分结果为曲线弧长,该圆周长是2π,这样就算出这个积分结果是2π.
这就是利用曲线方程化简被积函数的典型例子.
而在二重积分中不可以这样,如：∫∫ (x²+y²)dxdy,其中积分区域由x²+y²=1所围.
这个积分不可以象下面这样做：∫∫ (x²+y²)dxdy=∫∫ 1dxdy=π,区域面积.
这样做是不可以的.
这就是曲线积分与二重积分的不同.原因是,做曲线积分时,积分中的(x,y)均是满足方程x²+y²=1的,所以可以用曲线方程化简被积函数,而做二重积分时,区域内的点(x,y)并不满足方程x²+y²=1,它们应当满足x²+y²≤1,因此不可以那样做.这个二重积分要用极坐标来做.
希望可以帮到你,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,