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已知二次函数f(x)=ax2+bx+1,对于任意的实数x1、x2(x1≠x2),都有f(x1)+f(x1)2>f(x1+x22)成立,且f(x+2)为偶函数.(1)求a的取值范围;(2)求函数y=f(x)在[a,a+2]上的值域;(3)定义区间
题目详情
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1,对于任意的实数x1、x2(x1≠x2),都有
>f(
)成立,且f(x+2)为偶函数.
(1)求a的取值范围;
(2)求函数y=f(x)在[a,a+2]上的值域;
(3)定义区间[m,n]的长度为n-m.是否存在常数a,使的函数y=f(x)在区间[a,3]的值域为D,且D的长度为10-a3.
f(x1)+f(x1) |
2 |
x1+x2 |
2 |
(1)求a的取值范围;
(2)求函数y=f(x)在[a,a+2]上的值域;
(3)定义区间[m,n]的长度为n-m.是否存在常数a,使的函数y=f(x)在区间[a,3]的值域为D,且D的长度为10-a3.
▼优质解答
答案和解析
(1)由f(x+2)为偶函数可得f(x)=ax2+bx+1的图象关于直线x=2对称,
则−
=2,b=−4a,f(x)=ax2-4ax+1;
对于任意的实数x1、x2(x1≠x2),都有
>f(
)成立,则
−f(
)=
(ax12−4ax1+1+ax22−4ax2+1)−[a(
)2−4a
+1]=
a(x1−x2)2>0,
因为x1≠x2,
所以(x1-x2)2>0,
故a>0.
(2)f(x)=ax2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a,
因为a>0,
所以a+2>2.
当a+1≤2时,即0<a≤1时,f(x)min=1-4a,f(x)max=a3-4a2+1,
函数y=f(x)的值域为[1-4a,a3-4a2+1];
当1<a≤2时,f(x)min=1-4a,f(x)max=a3-4a+1,
函数y=f(x)的值域为[1-4a,a3-4a+1];
当a>2时,f(x)min=a3-4a2+1,f(x)max=a3-4a+1,
函数y=f(x)的值域为[a3-4a2+1,a3-4a+1].
(3)f(x)=ax2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a,
当0<a≤1时,f(x)min=1-4a,f(x)max=a3-4a2+1,
f(x)max-f(x)min=a3-4a2+1-(1-4a)=a(a-2)2,
由0<a≤1时,1≤(a-2)2<4,则a(a-2)2<4,而10-a3>9,不合题意;
当1<a<2时,f(x)min=1-4a,f(x)max=1-3a,
f(x)max-f(x)min=1-3a-(1-4a)=a,
由1<a<2,得10-a3>2,所以a≠10-a3,不合题意;
当2≤a<3时,f(x)min=a3-4a2+1,f(x)max=1-3a,f(x)max-f(x)min=1-3a-(a3-4a2+1)=10-a3,
故4a2-3a-10=0,(4a+5)(a-2)=0,
因为2≤a<3,
所以a=2.
综上所述:存在常数a=2符合题意.
则−
b |
2a |
对于任意的实数x1、x2(x1≠x2),都有
f(x1)+f(x1) |
2 |
x1+x2 |
2 |
f(x1)+f(x1) |
2 |
x1+x2 |
2 |
1 |
2 |
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
1 |
2 |
因为x1≠x2,
所以(x1-x2)2>0,
故a>0.
(2)f(x)=ax2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a,
因为a>0,
所以a+2>2.
当a+1≤2时,即0<a≤1时,f(x)min=1-4a,f(x)max=a3-4a2+1,
函数y=f(x)的值域为[1-4a,a3-4a2+1];
当1<a≤2时,f(x)min=1-4a,f(x)max=a3-4a+1,
函数y=f(x)的值域为[1-4a,a3-4a+1];
当a>2时,f(x)min=a3-4a2+1,f(x)max=a3-4a+1,
函数y=f(x)的值域为[a3-4a2+1,a3-4a+1].
(3)f(x)=ax2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a,
当0<a≤1时,f(x)min=1-4a,f(x)max=a3-4a2+1,
f(x)max-f(x)min=a3-4a2+1-(1-4a)=a(a-2)2,
由0<a≤1时,1≤(a-2)2<4,则a(a-2)2<4,而10-a3>9,不合题意;
当1<a<2时,f(x)min=1-4a,f(x)max=1-3a,
f(x)max-f(x)min=1-3a-(1-4a)=a,
由1<a<2,得10-a3>2,所以a≠10-a3,不合题意;
当2≤a<3时,f(x)min=a3-4a2+1,f(x)max=1-3a,f(x)max-f(x)min=1-3a-(a3-4a2+1)=10-a3,
故4a2-3a-10=0,(4a+5)(a-2)=0,
因为2≤a<3,
所以a=2.
综上所述:存在常数a=2符合题意.
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