已知函数f（x）=ex（lnx+k），（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．函数y=f（x）的导函数为f′（x），且f′（1）=0．（1）求k的值；（2）设g（x）=f′（x）-2[f（x）+ex]，φ（x）=exx，g（x

Question

已知函数f（x）=e^x（lnx+k），（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．函数y=f（x）的导函数为f′（x），且f′（1）=0．
（1）求k的值；
（2）设g（x）=f′（x）-2[f（x）+e^x]，φ（x）=(ex)/(x)，g（x）≤t•φ（x）恒成立．求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)=ex(lnx+k)+ex•(1)/(x)，
∴f'（1）=ek+e=0，∴k=-1…（4分）
（2）g(x)=ex•((1)/(x)-1-lnx)，由g（x）≤tφ（x）得ex((1)/(x)-1-lnx)≤t•(ex)/(x)
即(1)/(x)-1-lnx≤(t)/(x)(x>0)，∴t≥1-x-xlnx（x>0）
令h（x）=1-x-xlnx，（x>0），则h'（x）=-（lnx+2）=0，x=e^-2，
∴h（x）在（0，e^-2）↗，（e^-2，+∞）↘，
∴h(x)max=h(e-2)=1+(1)/(e2)，
∴t≥1+(1)/(e2)…（12分）