在Rt△ABC中，∠A=90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE=BG．

Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，
求证：AE=BG．

Answer 1

作EH⊥BC于H，如图，
∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，
∴EA=EH，
∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，
∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，
∴∠B=∠DAC，
∵∠AEC=∠B+∠ECB，
∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，
∴AE=AF，
∴EH=AF，
∵FG∥BC，
∴∠AGF=∠B，
在△AFG和△EHB中，

∠GAF＝∠BEH

∠AGF＝∠B

AF＝EH

，
∴△AFG≌△EHB（AAS）
∴AG=EB，
即AE+EG=BG+GE，
∴AE=BG．