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在Rt△ABC中,∠A=90°,CE是角平分线,和高AD相交于F,作FG∥BC交AB于G,求证:AE=BG.
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在Rt△ABC中,∠A=90°,CE是角平分线,和高AD相交于F,作FG∥BC交AB于G,
求证:AE=BG.
求证:AE=BG.
▼优质解答
答案和解析
作EH⊥BC于H,如图,
∵E是角平分线上的点,EH⊥BC,EA⊥CA,
∴EA=EH,
∵AD为△ABC的高,EC平分∠ACD,
∴∠ADC=90°,∠ACE=∠ECB,
∴∠B=∠DAC,
∵∠AEC=∠B+∠ECB,
∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE,
∴AE=AF,
∴EH=AF,
∵FG∥BC,
∴∠AGF=∠B,
在△AFG和△EHB中,
,
∴△AFG≌△EHB(AAS)
∴AG=EB,
即AE+EG=BG+GE,
∴AE=BG.
∵E是角平分线上的点,EH⊥BC,EA⊥CA,
∴EA=EH,
∵AD为△ABC的高,EC平分∠ACD,
∴∠ADC=90°,∠ACE=∠ECB,
∴∠B=∠DAC,
∵∠AEC=∠B+∠ECB,
∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE,
∴AE=AF,
∴EH=AF,
∵FG∥BC,
∴∠AGF=∠B,
在△AFG和△EHB中,
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∴△AFG≌△EHB(AAS)
∴AG=EB,
即AE+EG=BG+GE,
∴AE=BG.
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