指数方程的问题函数f(x)=3^2x-(K+1)*(3^x)+2,当x属于实数,f(x)恒大于0,求K的取值范围

Question

指数方程的问题
函数f(x)=3^2x-(K+1)*(3^x)+2,当x属于实数,f(x)恒大于0,求K的取值范围

Answer 1

f(x)=（3^2x）-[(k+1)3^x]+2
= (3^x)^2 - (k+1)*(3^x) + 2
设 3^x = t
f(t) = t^2 - (k+1)t + 2
x 属于 R 则 t > 0
题目转化为 :t>0 时,f(t) 恒为正值
f(t) = t^2 - 2*[(k+1)/2]x + [(k+1)/2]^2 - [(k+1)/2]^2 + 2
= [t - (k+1)/2]^2 + [8 - (k+1)^2]/4
f(t) 是 以 t = (k+1)/2 为对称轴,以 [8 - (k+1)^2]/4 为最小值的 开口向上的抛物线
为保证 t>0 时,f(t) 恒为正,则要求
1) 最小值 大于0
或者
2) 最小值小于0,但是 对称轴 在 t < 0 范围,且 f(0) ≥0
对于情况 1),则
8 - (k+1)^2 > 0
-1 - 2√2 < k < -1 + 2√2
对于情况 2) 则要求
(k+1)/2 < 0
f(0) = 2 > 0
解出 k < -1
取以上两个解的并集,则
k < -1 + 2√2