一道有关椭圆与直线相交的平面几何题3x2+4y2=12,有一点P(4,0),椭圆上有任意关于X轴对称的A,B两点,PB交椭圆的另一点为E,求直线AE交X轴有一定点

Question

一道有关椭圆与直线相交的平面几何题
3x2+4y2=12,有一点P(4,0),椭圆上有任意关于X轴对称的A,B两点,PB交椭圆的另一点为E,求直线AE交X轴有一定点

Answer 1

设PB的斜率为k,则
PB的方程：y=k(x-4),
带入椭圆方程,得
3x²+4k²(x-4)²=12,
(3+4k²)x²-32k²x+64k²-12=0,
设B(m,k(m-4)),E(n,k(n-4)),
则A(m,-k(m-4)),
直线AE为：
(x-m)/(n-m)=[y+k(m-4)]/[k(m+n-8)],
令y=0,则
x=m+(mn-m²-4n+4m)/(m+n-8)
=(2mn-4n-4m)/(m+n-8)
=[2(64k²-12)/(3+4k²)-4*32k²/(3+4k²)]/[-24/(3+4k²)]
=[128k²-24-128k²]/[-24]
=1
即在x轴上的交点为(1,0)
是常数,
得证!