已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-bx+c（b＞0）的图象经过点A（-1，b），与y轴相交于点B，且∠ABO的余切值为3．（1）求点B的坐标；（2）求这个函数的解析式；（3）如果这个函数图象

Question

已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²-bx+c（b＞0）的图象经过点A（-1，b），与y轴相交于点B，且∠ABO的余切值为3．
（1）求点B的坐标；
（2）求这个函数的解析式；
（3）如果这个函数图象的顶点为C，求证：∠ACB=∠ABO．

Answer 1

（1）根据题意，得b=1+b+c．
∴c=-1．
∴B（0，-1）；
（2）过点A作AH⊥y轴，垂足为点H．
∵∠ABO的余切值为3，∴cot∠ABO＝(BH)/(AH)＝3．
而AH=1，∴BH=3．
∵BO=1，∴HO=2．
∴b=2．
∴所求函数的解析式为y=x²-2x-1；
（3）由y=x²-2x-1=（x-1）²-2，得顶点C的坐标为（1，-2）．
∴AC＝2√(5)，AB＝√(10)，BC＝√(2)，AO＝√(5)，BO=1．
∴(AC)/(AB)＝(AB)/(AO)＝(BC)/(BO)＝√(2)．
∴△ABC∽△AOB．
∴∠ACB=∠ABO．