三角形边长为6、X、2X…那么三角形面积的最大值为?能求否?要过程…X是未知数…

Question

三角形边长为6、X、2X…那么三角形面积的最大值为?
能求否?要过程…X是未知数…

Answer 1

能求!
因为x、2x都是三角形的边长,所以x＞0.
又因为三角形边的关系：x+2x=3x＞6(两边之和大于第三边),2x-x=x＜6(两边之差小于第三边)可得：6＞x＞2……①.
现假设2p=x+2x+6=3x+6,则三角形面积S的表达式为：S²=p(p-x)(p-2x)(p-6)【海伦公式】.所以有(等式两边各乘16)：16S²=2p(2p-2x)(2p-4x)(2p-12)=(3x+6)(x+6)(6-x)(3x-6)=[(3x)²-6²](6²-x²)=(9x²-36)(36-x²)=9(x²-4)(36-x²).
令y=x²,则有36＞y＞4【①²得来】,三角形面积S满足：16S²/9=(y-4)(36-y)=-y²+40y-144=-(y-20)²+256,换句话说,当y=20的时候,S可取到最大值Smax=√(256×9÷16)=12.此时x=√20=2√5.