一道数学几何证明题有一个Rt三角形ABC,角A等于60度．角C等于30度．角B等于90度．以AB为一条边,做等边三角形ABD．再以BC为一条边,做等边三角形BCE．连结DE．以DE为一条边做等边三角形DEF．连

Question

一道数学几何证明题
有一个Rt三角形ABC,角A等于60度．角C等于30度．角B等于90度．以AB为一条边,做等边三角形ABD．再以BC为一条边,做等边三角形BCE．连结DE．以DE为一条边做等边三角形DEF．连结FA．(做三角形时,都做在三角形的外部,不要重叠.)
求证：角FAC等于90度．

Answer 1

连接FB
设AB=1 则BC=√3 AC=2
BD=AB=1
BE=BC=√3
∠DBE=360-60-60-90=150
由余弦定理得
DE=√(1+3-2√3cos150)=√7
cos∠BDE=5√7/14
则sin∠BDE=√21/14
cos∠BDF=cos(60+∠BDE)=√7/14
FB=√7
所以FB=FD 又AB=AD
所以∠FAB=60/2=30
∠FAC=60+30=90