椭圆的离心率的三角函数表示

Question

椭圆的离心率的三角函数表示

Answer 1

设椭圆的两焦点是F1,F2.点P是椭圆上任意一点.
∠PF1F2=β,∠PF2F1=α,
则|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a,
在三角形PF1F2中利用正弦定理得：
|PF2|/sinβ= |PF1|/sinα=|F1F2|/sin(180°-α-β)
即|PF2|/sinβ= |PF1|/ =|F1F2|/sin(α+β)
由等比定理得：(|PF1|+|PF2|)/( sinα+sinβ) =|F1F2|/sin(α+β)
2a/( sinα+sinβ) =2c/sin(α+β)
∴离心率e=c/a= sin(α+β) /( sinα+sinβ)
=2sin((α+β)/2)cos((α+β)/2)/[2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)]
= cos((α+β)/2)/ cos((α-β)/2).