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设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)为偶函数,且x∈[-3,0]时,f(x)=x^2,则f(2012)的值为
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设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)为偶函数,且x∈[-3,0]时,f(x)=x^2,则f(2012)的值为
▼优质解答
答案和解析
由题知：奇函数f(x)满足f(x+3)为偶函数
因为：f(x+3)为偶函数
则：f(x+3)=f(-x+3)
又因为：f(x)为奇函数
则：f(-x+3)=-f(x-3)=-f[(x-6)+3]=-f[-(x-6)+3]=-f(-x+9)=f(x-9)=f[(x-12)+3]=f[(12-x)+3]=f(-x+15)
由f(-x+3)=f(-x+15)可知：
f(x)的周期为12
因此：f(2012)=f(12*167+8)=f(8)=f(5+3)=f(-5+3)=f(-2)
因为：x∈[-3,0]时,f(x)=x^2
所以：f(-2)=4
得：f(2012)=4
因为：f(x+3)为偶函数
则：f(x+3)=f(-x+3)
又因为：f(x)为奇函数
则：f(-x+3)=-f(x-3)=-f[(x-6)+3]=-f[-(x-6)+3]=-f(-x+9)=f(x-9)=f[(x-12)+3]=f[(12-x)+3]=f(-x+15)
由f(-x+3)=f(-x+15)可知：
f(x)的周期为12
因此：f(2012)=f(12*167+8)=f(8)=f(5+3)=f(-5+3)=f(-2)
因为：x∈[-3,0]时,f(x)=x^2
所以：f(-2)=4
得：f(2012)=4
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