(2)ax^2+2x+2＞0在a属于（1,2]上恒成立,求x范围(1)ax^2+2x+2＞0在x属于（1,2]上恒成立,求a范围

Question

(2)ax^2+2x+2＞0在a属于（1,2]上恒成立,求x范围 (1)ax^2+2x+2＞0在x属于（1,2]上恒成立,求a范围

Answer 1

设 f(x)=ax²+2x+2,可知该函数的图像为抛物线,
（2）当 a∈(1,2]时,开口向上,
最小值为顶点处取得,
即最小值为
f(-1/a)=a/a²-2/a+2=2-1/a∈(1,3/2]
可见,
对于任意a,f(x)的最小值大于0,
故使题目成立的x的范围为R.
（1）分几种情况讨论：
①若a＞0,则
抛物线开口向上,
对称轴为 x=-1/a＜0
f(x) 在定义域内的最小值为 f(1)=a+4
要使此时的 f(x)＞0 恒成立,
则 f(1)=a+4＞0
a＞-4
综合前提条件 a＞0,
可见a＞0；
②若a=0,
则f(x)=2x+2,
显然符合题意；
③若a＜0,
则对称轴 x=-1/a＞0,还是分几种情况：
i：当-1/2≤a＜0时,
对称轴x=-1/a≥2
函数 f(x) 在(1,2]为减函数,最小值为 f(2)=4a+6
使f(2)＞0,解得a＞-3/2,
结合前提,则
-1/2≤a＜0；
ii：当-1＜a≤-1/2时,
对称轴1＜(x=-1/a)≤2
函数在定义域内的最小值在顶点处,即
f(-1/a)=2-1/a
使f(-1/a)＞0,解得a＜0,
综合前提,则-1＜a≤-1/2；
iii：当a＜-1时,
对称轴x=-1/a＜1
函数 f(x) 在(1,2]为增函数,最小值为 f(1)=a+4
使f(1)＞0,解得a＞-4,
结合前提,则
-4＜a＜-1.
综合i、ii、iii,则a的范围为
a＞-4.
——感觉做得比较乱,