关于圆锥体积公式的推导方法的疑问我已经知道方法,V＝1/3Sh（V＝1/3SH）S是底面积,h是高,r是底面半径.设圆锥高为h,底部半径为r,把圆锥等分为k份,每份看做一个小圆柱.则第n份圆柱的高为h

Question

关于圆锥体积公式的推导方法的疑问
我已经知道方法,V＝1/3Sh（V＝1/3SH）
　　S是底面积,h是高,r是底面半径.
设圆锥高为h,底部半径为r,把圆锥等分为k份,每份看做一个小圆柱.
则第n份圆柱的高为h/k,半径为n*r/k.
则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3
总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3
而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
则总体积为Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
K越大,这个总体积越接近于圆锥的体积.
当K为无穷大时,则1/k等于0.即总体积为Pi*h*r^2/3,即为圆柱体积的三分之一.
我想知道为什么小圆柱半径是半径为n*r/k?

Answer 1

如果总等分为n份.
相似三角行的对应边成比例x：r=k：n x=rk/n
则第k份圆柱的体积为h/n *pi*(rk/n)^2=pi*h*r^2*k^2/n^3
总体积为pi*h*r^2(1^2+2^2+...n^2)/n^3
再去求极限.