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若f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,又f(-2)=0,求x•f(x)<0的解集.
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若f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,又f(-2)=0,求x•f(x)<0的解集.
▼优质解答
答案和解析
∵f(x)为奇函数,f(-2)=0,
∴f(2)=0;
又∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,
∴f(x)在(0,+∞)上是减函数(奇函数在对称区间上具有相同的单调性),
由其图象可求得:
①当x<-2时,f(x)>f(-2)=0,故x•f(x)<0;
②当x>2时,f(x)<f(-2)=0,故x•f(x)<0;
∴x•f(x)<0的解集为:{x|x<-2或x>2}.
∴f(2)=0;
又∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,
∴f(x)在(0,+∞)上是减函数(奇函数在对称区间上具有相同的单调性),
由其图象可求得:
①当x<-2时,f(x)>f(-2)=0,故x•f(x)<0;
②当x>2时,f(x)<f(-2)=0,故x•f(x)<0;
∴x•f(x)<0的解集为:{x|x<-2或x>2}.
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