若f(x)=x^3-3ax^2+1在x=1处取得极值,求a的值；并求f(x)的全部极值

Question

若f(x)=x^3-3ax^2+1在x=1处取得极值,求a的值；并求f(x)的全部极值

Answer 1

答：
f(x)=x³-3ax²+1
求导：f'(x)=3x²-6ax
再求导：f''(x)=6x-6a
在x=1处取得极值：f'(1)=3-6a=0,f''(1)=6-6a≠0,解得：a=1/2
所以：f(x)=x³-3x²/2+1,f'(x)=3x²-3x,f''(x)=6x-3
令f'(x)=3x²-3x=0,解得：x1=1,x2=0
所以：x2=0也是极值点,f''(0)=-3<0,是极大值点,f''(1)=3>0,x=1是极小值点.
极小值f(1)=1-3/2+1=1/2
极大值f(0)=0-0+1=1