已知a∈R，求函数f（x）=x2eax的单调区间．

Question

已知a∈R，求函数f（x）=x²e^ax的单调区间．

Answer 1

函数f（x）的导数：f'（x）=2xe^ax+ax²e^ax=（2x++ax²）e^ax．
（I）当a=0时，若x＜0，则f'（x）＜0，若x＞0，则f'（x）＞0．
所以当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．
（II）当a＞0时，由2x+ax2＞0，解得x＜−(2)/(a)或x＞0，
由2x+ax2＜0，解得−(2)/(a)＜x＜0.
所以，当a＞0时，函数f（x）在区间（-∞，-(2)/(a)）内为增函数，在区间（-(2)/(a)，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；
（III）当a＜0时，由2x+ax²＞0，解得0＜x＜-(2)/(a)，
由2x+ax²＜0，解得x＜0或x＞-(2)/(a)．
所以当a＜0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，-(2)/(a)）内为增函数，在区间（-(2)/(a)，+∞）内为减函数．