关于积分中值定理的问题这是课本上积分中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ,使下式成立∫下限a上限bf(x)dx=f(ξ)(b-a)（a≤ξ≤b)我

Question

关于积分中值定理的问题
这是课本上积分中值定理的表述：若函数 f(x) 在 闭区间 [a,b]上连续,则在积分区间 [a,b]上至少存在一个点 ξ,使下式成立 ∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a) （ a≤ ξ≤ b)
我想问下,为什么是[a,b]的闭区间上至少存在一个点 ξ,而不是开区间呢?开区间的表述不是更严格吗?其他3个微分中值定理都是开区间啊.

Answer 1

首先告诉你这个定理的结论改成开区间(a,b)结论也是正确的.但一般工科书都写的是闭区间,这是因为所选的证明方法,只能把结论搞到闭区间.要得到开区间的结论,需要在这些基础上,更进一步证明,但书上去没去做这个事.