设F1,F2是双曲线x^2/4a-y^2/a=1(a>0)的两个焦点,P在双曲线上F19F2=90°,若Rt△F1PF2的面积等于1,则实数a=

Question

设F1,F2是双曲线x^2/4a-y^2/a=1(a>0)的两个焦点,P在双曲线上F19F2=90°,若Rt△F1PF2的面积等于1,则实数a=

Answer 1

这个要用到双曲线中焦点三角形的面积公式
如果双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
设∠F₁PF₂=α
因为P在双曲线上,由定义|PF₁-PF₂|=2a
在焦点三角形中,由余弦定理得
F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα
=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
焦点三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα
=b^2sinα/(1-cosα)
=b^2cot(α/2)
回到这道题目中来,夹角α=90°,
代入公式中得到,1=a×cot45°
解得a=1