dx/dt=f(t,x),x(0)=0在f不连续的情况下,微分方程的解一定连续可微吗?微分方程解的定义就是连续可微的吗

Question

dx/dt=f(t,x),x(0)=0在f不连续的情况下,微分方程的解一定连续可微吗?微分方程解的定义就是连续可微的吗

Answer 1

首先要判定是否解存在,如果解不存在,谈解的连续可微就没意义
其次,如果解存在的话,那么解必x（t)即满足dx/dt=f(t,x),所以x（t）在定义域内导数均存在,在一元微分学中导数存在的充分必要条件就是x（t）在定义域连续可微.所以一定是可微的
其实说的简单点,就是一个函数只要不定积分存在,那么必定这个不定积分连续可微