已知点A（-1，1），B（1，1），点P是直线y=x-2上的一点，满足∠APB最大，求点P的坐标及∠APB的最大值．

Question

已知点A（-1，1），B（1，1），点P是直线y=x-2上的一点，满足∠APB最大，求点P的坐标及∠APB的最大值．

Answer 1

设点P（a，a-2），要使∠APB最大，只要tan∠APB最大．
∵a=3时，∠APB=0，∴a＜3，3-a＞0，如图所示．
∵K_PA=(a−3)/(a+1)，k_PB=(a−3)/(a−1)，
tan∠APB=|(KPA−KPB)/(1+KPA•KPB)|=|((a−3)/(a+1)−(a−3)/(a−1))/(1+(a−3)/(a+1)•(a−3)/(a−1))|=|((a−3)(a−1)−(a+1)(a−3))/((a+1)(a−1)+(a−3)2)|=|(3−a)/(a2−3a+4)|=|(3−a)/((3−a)2−3(3−a)+4)|
=(1)/((3−a)−3+(4)/(3−a))≤(1)/(2√(4)−3)=1，当且仅当3-a=2，即 a=1时，取等号．
∴∠APB的最大值为(π)/(4)，此时，点P的坐标为（1，-1）．