已知函数f(x)=f(x+1),x∈R,若函数g(x)=x+f(x)在区间[0,1]上的值域伪[0,3],则g(x)在[2013,2014]上的值域为?

Question

已知函数f(x)=f(x+1),x∈R,
若函数g(x)=x+f(x)在区间[0,1]上的值域伪[0,3],则g(x)在[2013,2014]上的值域为?

Answer 1

由f(x)=f(x+1),即f(x)的周期T=1
设在[0,1]上,g(x)的最大值为g(a)=a+f(a)=3,最小值为g(b)=b+f(b)=0,
在[2013,2014]上,g(x)=x+f(x)=2013+(x-2013)+f(x-2013),
而h(x)=x-2013+f(x-2013)的最大值为h(a)=3,最小值为h(b)=0
所以g(x)在[2013,2014]上的最大值为2013+3=2016,最小值为2013,故它的值域为[2013,2016]