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设x∈R,f(x)=(12)|x|,若不等式f(x)+f(2x)≤k对于任意的x∈R恒成立,则实数k的取值范围是.
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设x∈R,f(x)=(
)|x|,若不等式f(x)+f(2x)≤k对于任意的x∈R恒成立,则实数k的取值范围是______.
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▼优质解答
答案和解析
∵f(x)=(
)|x|,
∴函数f(x)在区间(-∞,0]上为增函数,在区间[0,+∞)上为减函数,
且函数f(2x)在区间(-∞,0]上为增函数,在区间[0,+∞)上为减函数,
令F(x)=f(x)+f(2x),
根据函数单调性的性质可得F(x)=f(x)+f(2x)在区间(-∞,0]上为增函数,在区间[0,+∞)上为减函数,
故当x=0时,函数F(x)取最大值2,
若不等式f(x)+f(2x)≤k对于任意的x∈R恒成立,
则实数k的取值范围是k≥2
故答案为:k≥2
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∴函数f(x)在区间(-∞,0]上为增函数,在区间[0,+∞)上为减函数,
且函数f(2x)在区间(-∞,0]上为增函数,在区间[0,+∞)上为减函数,
令F(x)=f(x)+f(2x),
根据函数单调性的性质可得F(x)=f(x)+f(2x)在区间(-∞,0]上为增函数,在区间[0,+∞)上为减函数,
故当x=0时,函数F(x)取最大值2,
若不等式f(x)+f(2x)≤k对于任意的x∈R恒成立,
则实数k的取值范围是k≥2
故答案为:k≥2
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