高数应用微元法求以O（0,0）为心,R为半径的球体体积

Question

高数应用微元法求以O（0,0）为心,R为半径的球体体积

Answer 1

以球的一条直径为轴;球心置于坐标原点;所选直径与Z轴重合.
则轴上在距球心z处与轴垂直的截面圆半径为r=√(R^2-z^2).其面积为π·r^2=π·(R^2-z^2).
则以它为底,以dz为高的圆柱形微元体积为 π·(R^2-z^2)dz.
则圆球的体积公式为∫(从-R到R)π·(R^2-z^2)dz
=π·R^2(R-(-R))-π·(1/3)·(2R^3)
=(4/3)π·R^3