一个有关微分几何测地线的问题给定双曲面x^2+y^2-z^2=1,及曲面上任意两点,求它们的曲面最短路的距离貌似要用到微分几何的一些知识,

Question

一个有关微分几何测地线的问题
给定双曲面x^2+y^2-z^2=1,及曲面上任意两点,求它们的曲面最短路的距离
貌似要用到微分几何的一些知识,

Answer 1

如果旋转面的参数方程是
r(u,v) = (u*cos(v),u*sin(v),f(u))
则其测地线公式是(一般微分几何书上都有)
v(u) = v0 + \int_{u0}^{u} c * \sqrt(1+[f'(w)]^2) / [w * \sqrt(w^2-c^2)] dw
其中 (u0,v0)是出发点位置,\int_{u0}^{u}表示从u0到u的积分,
\sqrt是开根号,f'(w)表示 f 的导数,c是一个常数,由
v(u1) = v1 决定
由Liouville公式,还可以推出
dv/ds = c/u^2
其中 s 是测地线弧长参数.这样
ds/dv = u^2/c
ds = (u^2/c)dv = (u^2/c) dv/du *du
= (u^2/c) * c * \sqrt(1+[f'(u)]^2) / [u * \sqrt(u^2-c^2)] du
= u * \sqrt(1+[f'(u)]^2) / \sqrt(u^2-c^2) du
所以弧长等于 \int_{u0}^{u1} ds
= \int_{u0}^{u1} u * \sqrt(1+[f'(u)]^2) / \sqrt(u^2-c^2) du
对于 x^2+y^2-z^2=1,令f(u) = 正负\sqrt(u^2-1) 即可.这样:
x = u*cos(v),y = u*sin(v),z = 正负 \sqrt(u^2-1)
x^2+y^2-z^2 = u^2-(u^2-1) = 1
上面的积分不一定能够有积出来的表达式,实际计算的时候,可以数值计算.
以u0=1,v0=0,u1=2,v1=0为例,这对应着空间两点:
p1 = ( 1,0,0 ),p2 = ( 2,0,\sqrt(3) )
显然最短路径就是沿着母线走,通过这两点的母线方程是
x^2-z^2=1,也就是 z = \sqrt(x^2-1) (这里只取上半部分)
由求曲线弧长的微积分公式,最短路径长度是
\int_{1}^{2} \sqrt(1+[dz/dx]^2) dx
= \int_{1}^{2} \sqrt[(2x^2-1)/(x^2-1)] dx
这个积分没有封闭表达式结果,只能数值计算.