设x,y大于零,且x+y=6,求证：3√（x／1+y）+3√（y/1+x)≤2,3是三次的意思

Question

设x,y大于零,且x+y=6,求证：3√（x／1+y）+3√（y/1+x)≤2,3是三次的意思

Answer 1

可以使用一种类似于无穷递降法的方法来证明
假设A=3√(x/1+y)+3√ (y/1+x)＞2,A^3＞8
A^3=x/(1+y)+3*3√[xy/(1+x)(1+y)][3√(x/1+y)+3√(y/1+x)]+y/(1+x)
=x/(1+y)+3*3√[xy/(1+x)(1+y)]*A+y/(1+x)＞8
∵x/(1+y)+y/(1+x)=(2xy+6)/(xy+7)＜2 ,3√[xy/(1+x)(1+y)]*＜1
∴2＜3√[xy/(1+x)(1+y)]*A＜A
∵A为一个正数
∴对3√[xy/(1+x)(1+y)]*A三次方,重复以上的步骤
得{3√[xy/(1+x)(1+y)]}^n*A＞2,其中n可无限大
由3√[xy/(1+x)(1+y)]＜1,得当n趋向于无穷时,{3√[xy/(1+x)(1+y)]}^n*A趋向于0
这与{3√[xy/(1+x)(1+y)]}^n*A＞2矛盾
∴假设不成立
∴x,y大于零,且x+y=6,求证：3√（x／1+y）+3√（y/1+x)≤2