在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=513，且a，b，c成等比数列．（1）求1tanA+1tanC的值；（2）若accosB=12，求a+c的值．

Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=(5)/(13)，且a，b，c成等比数列．
（1）求(1)/(tanA)+(1)/(tanC)的值；
（2）若accosB=12，求a+c的值．

Answer 1

（1）依题意，b²=ac，
由正弦定理及sinB＝(5)/(13)，得sinAsinC＝sin2B＝(25)/(169)．(1)/(tanA)+(1)/(tanC)＝(cosA)/(sinA)+(cosC)/(sinC)＝(sin(A+C))/(sinAsinC)＝(sinB)/(sinAsinC)＝(5)/(13)×(169)/(25)＝(13)/(5)．
（2）由accosB=12知cosB＞0．
由sinB＝(5)/(13)，得cosB＝±(12)/(13)．（舍去负值）
从而，b2＝ac＝(12)/(cosB)＝13．
由余弦定理，得b²=（a+c）²-2ac-2accosB．
代入数值，得13＝(a+c)2−2×13×(1+(12)/(13))．
解得：a+c＝3√(7)．