取直线L:x-y+9=0的一动点M,过M且以椭圆3x^2+12y^2=36的焦点为焦点坐椭圆,当M点的坐标为多少时,所作椭圆的长轴长最短,求此时椭圆方程

Question

取直线L:x-y+9=0的一动点M,过M且以椭圆3x^2+12y^2=36的焦点为焦点坐椭圆
,当M点的坐标为多少时,所作椭圆的长轴长最短,求此时椭圆方程

Answer 1

x^2/12+y^2/3=1
12-3=9
所以焦点F1(3,0),F2(-3,0)
所求椭圆b^2=a^2-9
x^2/(b^2+9)+y^2/b^2=1
设M横坐标是m,y=m+9
所以M(m,m+9)
MF1+MF2
=√[(m-3)^2+(m+9)^2]+√[(m+3)^2+(m+9)^2]
=√(2m^2+12m+90)+√(2m^2+24m+90)
提出√2
得√(m^2+6m+45)+√(m^2+12m+45)
=√[(m+3)^2+(0+6)^2]+√[(m+6)^2+[0-3)^2]
这就是x轴上一点P(x,0)和两点A(-3,-6),B(-6,3)的距离和
则APB在一直线且P在中间时有最小值
P就是直线AB和x轴交点
(y+6)/(-3+6)=(x+3)/(-6+3)
y=0,x=-9
即m=-9,m+9=0
所以M(-9,0)
最小值就是AB
所以AB=√[(-3+6)^2+(-6-3)^2]=3√10
因为M在椭圆上
所以MF1+MF2=2a
而MF1+MF2=√2*3√10=6√5
a=3√5
b^2=a^2-9=36
所以x^2/45+y^2/36=1