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设等比数列{an}前n项和为Sn,若S3+S6=S9,求数列的公比q
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设等比数列{an}前n项和为Sn,若S3+S6=S9,求数列的公比q
▼优质解答
答案和解析
当q=1时,有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1
符合题目,故q=1
当q≠1时,
a1（1-q^3）/(1-q)+a1(1-q^6)/(1-q)=a1(1-q^9)/(1-q) 由q≠1,去分母整理得
（1-q^3）+（1-q^6）=（1-q^9）
令q^3=x,则
（1-x）+（1-x^2）-（1-x^3)=0
1-x-x^2+x^3 =0
(1-x)-x^2(1-x)=0
(1-x)(1-x)(1+x)=0
(1-x)^2(1+x)=0 由q≠1,x≠1,
故x=-1 ,即q^3=-1,q=-1
综上所述q=-1或+1
符合题目,故q=1
当q≠1时,
a1（1-q^3）/(1-q)+a1(1-q^6)/(1-q)=a1(1-q^9)/(1-q) 由q≠1,去分母整理得
（1-q^3）+（1-q^6）=（1-q^9）
令q^3=x,则
（1-x）+（1-x^2）-（1-x^3)=0
1-x-x^2+x^3 =0
(1-x)-x^2(1-x)=0
(1-x)(1-x)(1+x)=0
(1-x)^2(1+x)=0 由q≠1,x≠1,
故x=-1 ,即q^3=-1,q=-1
综上所述q=-1或+1
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